0으로 나눌 수 없는 우주: 수학의 설명력과 한계

지난 세기 1960년대, 물리학자이자 노벨상 수상자인 유진 위그너(Eugene Wigner)는 오늘날까지도 잠 못 이루게 하는 질문을 던졌다. 인간이 고안한 일련의 추상적인 기호는 어떻게 은하와 전자, 중력파의 움직임을 완벽하게 정확히 묘사할 수 있을까?

언뜻 보면 완벽한 조화처럼 보인다. 인간의 정신과 우주의 내부 구조가 기적적으로 맞아떨어지는 듯하다.

양손에 사과를 하나씩 들고 있다고 상상해 보자. 어느 행성에 있든, 역사 속 어느 시대에 살든, 몇 번을 다시 세어 보든 1+1=2라는 연산은 변하지 않는다. 세계는 지속성, 예측 가능성, 검증 가능성이라는 특성을 보인다. 눈을 감는다고 사물이 마법처럼 사라지지는 않는다. 사물은 일정한 안정성을 지니므로 우리는 이를 기호로 옮기고, 연산하고, 미래를 예측할 수 있다.

이것이 바로 추상화의 진정한 마법이다. 추상화는 현실과 상상 사이에 다리를 놓는 일이다.

퇴근 후 먹을 저녁을 생각할 때, 음식이 눈앞에 없어도 입에 침이 고인다. 알프레도 파스타의 모양과 질감, 향이 이미 머릿속에 선명한 이미지로 존재하기 때문이다. 마찬가지로 방정식을 이용해 차량의 최종 속도를 계산할 때도 초시계를 들고 도로에 나갈 필요가 없다. 직접 경험하지 않고도 수학으로 현실을 다룬 것이다.

오랫동안 사람들은 이 수학적 언어가 절대적이라고 믿었다. 신이 우주를 기록한 책을 우리가 발견했다고 생각했다. 하지만 그러다 0이라는 걸림돌을 만났다.

0으로 나누기

이 수학적 도구를 극한까지 밀어붙여, 자연이 허용하지 않는 일을 종이 위에서 시도하면 어떤 일이 벌어질까?

우리는 대수학에서 0으로 나눌 수 없다고 배웠다. 이 연산을 시도하면 계산기는 오류를 표시하거나 결과가 무한대로 향한다고 알려 준다. 종이 위에서 무한은 그저 우아한 기호이자, 값이 한없이 커지는 개념일 뿐이다. 하지만, 이 연산을 물리적 현실로 옮기면 어떤 일이 일어날까?

물리학자들이 블랙홀에 집중된 물질의 밀도나 전기 저항이 0인 회로의 거동을 계산하려 했을 때, 방정식은 ‘0으로 나누기’라고 외쳤다. 수학이 현실 세계에서 무한대라는 결과를 내놓은 것이다.

바로 여기서 이야기는 놀랍게 전개된다. 무한이라는 심연 앞에서 우주가 반응한다. 자연은 시공간에 실제 무한이 존재하는 것을 허용하지 않는다. 대신 우주는 검열 메커니즘을 작동시킨다. 밀도가 무한한 지점을 감추는 사건이나, 이상 현상을 완화하고 성립할 수 없는 역설을 피하게 하는 양자 법칙을 펼쳐 보이는 것이다.

특이점

이처럼 방정식이 더 이상 의미 있는 답을 내놓지 못하는 틈을 특이점이라고 부른다.

바로 여기서 처음의 딜레마가 풀린다. 특이점의 출현은 수학이 실패했다는 뜻이 아니다. 우주가 무질서하다는 뜻도 아니다. 오히려 수학은 우주 그 자체가 아니라 우리가 우주를 그려 낸 지도라고 말할 수 있다.

0으로 나누는 연산을 마주할 때, 우리는 우주의 오류가 아니라 지식의 경계에 다다른 것이다. 현실이 우리에게 지금의 지도를 개선해야 한다고 말하는 셈이다.

수학을 통해 우리는 불가능해 보이는 일을 종이 위에서 시도할 수 있다. 하지만 우주는 이론이 어디서 끝나고 물질의 구조가 어디서 시작하는지 일깨워 준다. 위그너가 이름 붙인 수학의 ‘불합리할 정도의 효용성’은 수학의 완벽함에 있지 않다. 아직 알아내지 못한 물리 법칙을 발견하려면 어디를 살펴봐야 하는지 알려 준다는 데 있다.

[출처] El escollo insalvable de dividir por cero: por qué las matemáticas permiten entender el universo pero no coinciden con él

[번역] 하주영